BANGUN RUANG

Bangun Ruang

1.   Pengertian Prisma
Prisma adalah bangun ruang tertutup yang dibatasi oleh dua sisi berbentuk segi banyak yang sejajar dan kongruen, serta sisi-sisi lainnya berbentuk persegi panjang.


Unsur – unsur prisma adalah sebagai berikut :

                 
    Gambar 2
a.   Sisi / bidang
b.   Rusuk
c.   Titik Sudut
d.   Diagonal Bidang
Diagonal bidang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang terletak pada rusuk-rusuk berbeda dan terletak pada satu bidang sisi.
e.  Bidang Diagonal
Bidang Diagonal adalah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut pada sisi alas dan sebuah titik sudut sisi atas yang tidak terletak pada satu bidang sisi. Contoh  :



                                                                  Gambar 3
a.   Sisi/bidang     : ABC, DEF, ABED, BCEF, dan ACDF.
b.   Rusuk             : AB, BC, CA, DE, EF, FD, AD, BE, dan CF.
c.   Titik sudut         : A, B, C, D, E, dan F.
d.   Diagonal bidang     : AE, BD, BF, CE, AF, dan DC.
e.   Bidang diagonal       : ABF, BCD, ACE, AEF, BDF, dan CDE.

Berdasarkan rusuk tegaknya, prisma dibedakan menjadi 2  :
   1. Prisma tegak adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang atas dan bidang alas.
   2. Prisma miring/prisma condong adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak lurus pada bidang atas dan bidang alas.

Volume Prisma  = luas alas x tinggi
 Luas permukaan = (2 x luas alas) + (keliling alas x tinggi)
Volume limas = 1/3 x luas alas x tinggi limas
Luas permukaan limas = Luas alas + jumlah luas seluruh sisi tegak
Jaring-jaring Prisma



2. Limas
 Pengertian Limas
Jika digambarkan ke dalam bentuk geometri, bangunan piramida pada  Gambar 8.27 akan tampak seperti Gambar 8.28 . Bangun ruang tersebut memiliki 5 buah sisi dan memiliki titik puncak. Berbeda halnya dengan prisma yang memiliki bidang samping berbentuk persegipanjang, bangun ruang tersebut memiliki bidang samping yang berbentuk segitiga. Bangun ruang tersebut disebut limas segiempat. Gambar 8.28 menunjukan sebuah limas segiempat E. ABCD . Berdasarkan bentuk alasnya, limas memiliki berbagai macam nama. Coba kamu perhatikan Gambar 8.29 berikut ini dengan saksama.

Limas-limas yang ditunjukkan pada Gambar 8.29 berturut-turut adalah limas segitiga, limas segilima, dan limas segienam. Secara umum, unsurunsur yang dimiliki oleh sebuah limas sebagai berikut.
a.Sisi/Bidang
Coba kamu perhatikan lagi bentuk limas pada Gambar 8.28 . Dari gambar tersebut, terlihat bahwa setiap limas memiliki sisi samping yang berbentuk segitiga. Pada limas segiempat E.ABCD, sisi-sisi yang terbentuk adalah sisi ABCD (sisi alas), ABE (sisi depan), DCE (sisi belakang), BCE (sisi samping kiri), dan ADE (sisi samping kanan).
b.Rusuk
Perhatikan kembali limas segiempat E.ABCD pada Gambar 8 .28. Limas tersebut memiliki 4 rusuk alas dan 4 rusuk tegak. Rusuk alasnya adalah AB, BC, CD, dan DA. Adapun rusuk tegaknya adalah AE, BE, CE, dan DE.
c.TitikSudut
Jumlah titik sudut suatu limas sangat bergantung pada bentuk alasnya. Setiap limas memiliki titik puncak (titik yang letaknya atas). Coba kamu perhatikan limas-limas pada Gambar 8.28 dan Gambar 8.29 . Limas segitiga memiliki 4 titik sudut, limas segiempat memiliki 5 titik sudut, limas segilima memiliki 6 titik sudut, dan limas segienam memiliki 7 titik sudut.

 Sifat-Sifat Limas
Untuk bentuk limas tertentu, misalnya limas segitiga atau limas segiempat, ada beberapa sifat yang perlu kamu ketahui. Gambar 8.30 (a) menunjukkan sebuah limas segitiga D.ABC. Pada limas segitiga D. ABC, semua sisi limas tersebut berbentuk segitiga. Coba kamu amati sisi-sisi limas ABC, ABD, BCD, dan ACD. Semuanya berbentuk segitiga. Jika limas segitiga memiliki semua sisi yang berbentuk segitiga samasisi, maka limas tersebut disebut limas segitiga beraturan.
Perhatikan limas segiempat E. ABCD pada Gambar 8.30 (b) di samping. Dari gambar tersebut terlihat bahwa limas segiempat memiliki alas berbentuk persegipanjang. Sesuai dengan sifatnya, setiap diagonal persegipanjang memiliki ukuran yang sama panjang. Jadi, limas segiempat memiliki diagonal alas yang sama panjang. Perhatikan Gambar 8.30(b) , panjang diagonal alas AC dan BD memiliki ukuran yang sama panjang.
Jaring-Jaring Limas
Seperti bangun ruang lainnya, jaring-jaring limas diperoleh dengan mengiris beberapa rusuknya, kemudian direbahkan. Untuk lebih jelasnya, pelajari Gambar 8.31 berikut.

Rumus Rumus Limas
1. Volume Limas
Untuk mencari besar volume limas digunakan rumus:
Volume Limas = 1/3 x Luas Alas x t
2. Luas Permukaan
Untuk mencari luas permukaan limas digunakan rumus:
L= Jumlah Luas bidang-bidang sisinya

3. TABUNG
Dalam mendefinisikan tabung, kita menggunakan pengertian bidang tabung. Ada beberapa definisi untuk bidang tabung, yaitu:
1.      Bidang tabung adalah himpunan semua garis p yang sejajar dengan sebuah garis s dan mempunyai jarak yang tetap r terhadap s. ( dalam hubungan ini s disebut sumbu bidang tabung, p disebut garis pelukis dan r adalah jari-jari bidang tabung.





Dari definisi bidang tabung maka tabung dapat didefinisikan sebagai berikut:
“Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang tabung dan dua buah datar yang masing-masing tegak lurus pada sumbu bidang tabung.”
Tabung juga dapat dipikirkan sebagai sebuah prisma beraturan yang banyaknya sisi digandakan terus menerus sehingga menjadi tak terhingga banyaknya.



Unsur-unsur Tabung
-          Tabung mempunyai 3 sisi yaitu sisi atas, sisi bawah dan sisi lengkung/sisi tegak (yang selanjutnya disebut selimut tabung). Sisi alas dan sisi atas (tutup) berbentuk lingkaran yang kongruen (sama bentuk dan ukurannya).
-          Tabung mempunyai 2 rusuk yang masing-masing berbentuk lingkaran.
-          Tabung tidak mempunyai titik sudut.



Jarak antara bidang atas dan bidang bawah tabung disebut tinggi dari tabung itu.

Bidang Singgung Pada Bidang Tabung




Pada gambar di atas, A merupakan pusat lingkaran alas dari tabung. Dibuat garis singgung pada p pada alas tabung itu dengan D sebagai titik singgung. Dibuat garis pelukis DE, maka bidang yang melalui P dan DE disebut bidang singgung pada bidang tabung. Jika dalam bidang singgung pada bidang tabung itu kita lukis garis g yang tidak sejajar dengan garis pelukis, maka garis g itu akan memotong garis pelukis DE di sebuah titik P yang merupakan titik persekutuan dari garis g dan bidang tabung. Dalam hal ini maka garis g dikatakan menyinggung bidang tabung di titik P. Garis g juga merupakan garis yang menyilang sumbu tabung pada jarak tetap, yaitu r.
Karena bidang singgung L melalui garis pelukis yang letaknya selalu sejajar dengan sumbu tabung s, maka akibatnya bahwa setiap bidang singgung pada bidang tabung letaknya pasti sejajar dengan sumbu tabung s.
Dari pernyataan di atas dapatlah disimpulkan bahwa:
1.      Semua garis yang menyilang sebuah garis s dengan jarak tetap (r) terletak pada sebuah bidang yang menyinggung bidang tabung dengan s sebagai sumbu dan r sebagai jari-jarinya.
2.      Setiap bidang yang sejajar dengan sebuah garis s dan mempunyai jarak tetap (r) terhadap s, menyinggung bidang tabung dengan s sebagai sumbu dan r sebagai jari-jarinya.

      Jaring-jaring Tabung
Jika sebuah model peraga dari sebuah tabung yang terbuat dari kertas atau karton kita potong sepanjang salah satu garis pelukis dan keliling bidang alas dan bidang atasnya, kemudian kita buka sehingga terletak bersama pada sebuah bidang datar maka kita akan peroleh jaring-jaring dari tabung yang terdiri dari sebuah daerah persegi panjang (bidang lengkung tabung tadi) dan dua daerah lingkaran yang kongruen.

Volume Tabung
Untuk menentukan volume tabung, maka tabung kita pandang sebagai bangun yang terjadi dari sebuah prisma beraturan yang banyaknya sisi tak terhingga, sehingga keliling dari luas bidang alasnya sangat mendekati keliling dan luas sebuah lingkaran, sedangkan tinggi prisma itu menjadi tinggi dari tabung tersebut.
Dengan perkataan lain :
Volume sebuah silinder sama dengan limit volume prisma beraturan  yang banyaknya sisi bertambah menjadi tak berhingga.
Jika r adalah jari-jari bidang alas tabung (bidang alas berupa lingkaran) dan t adalah tinggi tabung, maka :



Volume Tabung   =   Volume Prisma
                            =   Luas Alas x Tinggi
                            =   (pr2) x (t)
                            =   p r 2 t

Luas Permukaan Tabung
Luas permukaan tabung dapat kita lihat dari jaring-jaring tabung yang terdiri dari sebuah daerah persegi panjang dan dua daerah lingkaran yang kongruen.
Daerah persegi panjang itu panjangnya sama dengan keliling lingkaran alas/atas dari  tabung,  sedang  lebarnya sama dengan tinggi tabung.
Luas persegi panjang ini disebut luas bidang lengkung tabung. Jika r jari-jari tabung dan t adalah tinggi tabung, maka:





Luas Bidang Lengkung Tabung    =   Luas Persegi Panjang
                                                       =   p x l
                                                       =   Keliling lingkaran x tinggi tabung
                                                       =   (2pr) x (t)
                                                       =   2 p r t


Luas Seluruh Permukaan Tabung = Luas Seluruh Bidang Sisi Tabung
              =   Luas Bidang Lengkung Tabung + 2 Luas Alas (Lingkaran)
              =   2prt + 2 (pr2)
              =   2 p r (r + t)


4. KERUCUT
Pengertian Kerucut
Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung.
Sisi tegak kerucut berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung yang disebut seimut kerucut.
Unsur-unsur Kerucut
a. Sisi yang di bawah dinamakan bidang alas kerucut.
b. Titik O dinamakan pusat lingkaran (pusat bidang alas kerucut), sedangkan titik T dinamakan puncak kerucut.
c. Ruas garis OA dinamakan jari-jari bidang alas kerucut.
d. Ruang garis AB dinamakan diameter bidang alas kerucut.
e. Ruas garis yang menghubungkan titik T dan O dinamakan tinggi kerucut (t).
f. Ruas garis BC dinamakan tali busur bidang alas kerucut.
g. Sisi ya g diarsir dinamakan selimut kerucut.

 
Unsur-unsur kerucut adalah sebagai berikut.
1. Sisi alas berbentuk lingkaran berpusat di titik A.
2. AC disebut tinggi kerucut.
3. Jari-jari lingkaran alas, yaitu AB dan diameternya BB' = 2AB.
4. Sisi miring BC disebut apotema atau garis pelukis.
5. Selimut kerucut berupa bidang lengkung.
Dari uraian di atas, diperoleh bangun-bangun yang memiliki bidang lengkung dan bidang datar. Bidang lengkung dari bangun-bangun tersebut berupa selimut dan bidang datarnya berupa lingkaran.
Unsur-unsur Kerucut
Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi .
 Luas dan volume kerucut
• Luas permukaan kerucut atau luas kerucut :
L = luas sisi alas + luas selimut kerucut
   = π r2 + π r s
   = π r (r + s)

•Volume kerucut :
V = 1/3 x luas alas x tinggi
   = 1/3 x π r2 x t
   = 1/3 π r2t